Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

Алгебра 7-9 классы. 1. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования – Всё для чайников

Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»

Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:

3x + x = 40.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10. Число 10 — корень уравнения Зх + х = 40.

Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.

Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение.

При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение.

Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнение х2=4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Уравнения обладают следующими свойствами:

1)    если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;

2)    если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 равносильны.

Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Таким образом, уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.

3) Можно также доказать, что  если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2дс=9, ему равносильное.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.

Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5х = — 4,  — 0,2х = 0,  —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа.  В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.

Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень

Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение Раскроем скобки:

Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:

Число —5 является корнем уравнения .

Может случиться, Что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида 0х=b. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение сводится к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение сводится к уравнению 0х = 0, и, значит, любое число является его корнем.

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1891-algebra-7-9-klassy-1-uravneniya-s-odnoj-peremennoj-vyrazheniya-i-ikh-preobrazovaniya

Линейное уравнение с одной переменной. Алгебра ч.1

Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович и др. (2019). Глава 1. Математический язык и модель (теория). § 4. Линейное уравнение с одной переменной.

3. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Вы смотрели ознакомительная версию с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович и др. (2019). Глава 1. Математический язык и модель (теория). § .

OCR-версия данного раздела

1. Решение линейного уравнения с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются известные вам из курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной переменной. Приведём примеры линейных уравнений: 3х = 12, 5у — 10 = 0, 2а + 7 = 0 и т. д.

Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

Так, уравнение 3х = 12 имеет корень х = 4, поскольку 3 • 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 5у — 10 = 0 имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 — 10 = 0 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а + 7 = 0 имеет корень а = -3,5, поскольку 2 • (-3,5) + 7 = 0 — верное равенство, причём других корней нет.Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а и b — любые числа (коэффициенты). Если а = 0 и b = 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней). Если а = 0 и b ≠ 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет; говорят, что уравнение не имеет корней.Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда а ≠ 0. Рассуждаем так:1) ах + b = 0, значит, ах = -b; фактически слагаемое b перенесли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком;2) ах = -b, т. е. произведение чисел а и х равно -b; но тогда множитель х равен частному от деления произведения -b на второй множитель. Значит, х = (-b) : а. Вместо знака деления можно использовать черту дроби: х = -b/a.

Фактически мы выработали определённую программу действий, определённый порядок ходов — в математике в таких случаях используется термин алгоритм — для решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.1. Преобразовать уравнение к виду ах = -b.2. Записать корень уравнения в виде х = (-b) : а, или, что то же самое, х = -b/a.

А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, например 2х — 2 = 10 — х?Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х — 2) — (10 — х) = 0.

Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов:2х — 2 — 10 + х = 0;3х — 12 = 0;3х = 12;х = 4.

Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го классов. Обобщим проведённые рассуждения, оформив их в виде ещё одного полезного алгоритма.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с)1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.2. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kx + m = 0, где k ≠ 0.

3. Преобразовать уравнение к виду kx = -m и записать его корень: х = —m/k.

Именно так было решено уравнение, которое получилось в предыдущем параграфе в примере 1.

2. Решение примеровРешить уравнение 2у/3 + 7/8 = 5у/6 — 1/4.Первый способ. Воспользуемся алгоритмом:Второй способ. Прежде чем применять алгоритм, умножим обе части уравнения на 24 — это наименьший общий знаменатель имеющихся дробей. При этом мы пользуемся тем, что если А = В, то 24А = 24В, и обратно. Получим:16у + 21 = 20у — 6.А далее воспользуемся алгоритмом:

Ответ: y = 6 3/4.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение.Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению среднихчленов), получим:2(3z — 4) = 5(2z + 1).Дальнейший ход решения, надеемся, уже не требует комментариев:

Ответ: z = -3 1/4.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение:Решение а) Наименьшим общим кратным для знаменателей 3, 6, 4, 12 является число 12. Умножив обе части уравнения на 12, получим:Получили неверное числовое равенство.

Что это означает для данного уравнения? То, что оно не имеет корней: ни при каком значении х уравнение не обращается в верное числовое равенство.б) Умножив обе части уравнения на 10, получим:Получили верное числовое равенство.

Что это означает для данного уравнения? То, что оно обращается в верное числовое равенство при любом значении х.

Ответ: а) Корней нет; б) корнем является любое число.

3. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

ПРИМЕР 4. Купили некоторое количество книг для библиотеки и пытаются разместить их на одинаковых полках стеллажа. Сначала поставили по 20 книг на каждую полку. В результате две полки оказались пустыми, а остальные заполненными (по 20 книг).
Затем решили ставить по 15 книг на полку. Попытка оказалась удачной: все полки заполнились (по 15 книг на каждой). Сколько книг было куплено?

Решение. I ЭТАП. Составление математической модели.Обозначим буквой х число полок в стеллаже. Когда на каждую полку поставили по 20 книг, то заполненными оказались (х — 2) полки. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 20(х — 2).

Далее в задаче сказано, что когда на каждую полку поставили по 15 книг, то все х полок оказались заполненными сплошь. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 15х.

Остаётся приравнять два полученных выражения числа купленных книг:20(х — 2) = 15х.

Это уравнение — математическая модель задачи.

II ЭТАП. Работа с составленной моделью. Решаем уравнение:20(х — 2) — 15х = 0;20х — 40 — 15х = 0;5х — 40 = 0;5х = 40;

х = 8.

III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи. Мы выяснили, что в стеллаже 8 полок. Все купленные книги разместили на этих полках по 15 штук на каждой. Значит, всего было куплено 15 • 8 = 120 книг.
Ответ Всего было куплено 120 книг.

Вопросы для самопроверки1. Что называют корнем уравнения с одной переменной?2. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.3. Что такое линейное уравнение с одной переменной?4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?5. Как вы думаете, может ли корнем линейного уравнения с одной переменной быть отрицательное число? Если да, то приведите пример.6.

Найдите корень уравнения 2х + 7 = 11.7. Приведите пример линейного уравнения с одной переменной, имеющего своим корнем число:а) 0; б) 2; в) -1.8. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.9. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с).10.

Приведите пример таких значений а и Ь, при которых уравнение ах = b:а) не имеет корней;

б) имеет бесконечное множество корней.

Источник: https://xn--7-8sb3ae5aa.xn--p1ai/linejnoe-uravnenie-s-odnoj-peremennoj-algebra-ch-1/

Методы решения уравнений с одной переменной

Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

   При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а, ведь проверочное слово ровный пишется через о? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому,  что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно.

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где  A(x) и  B(x) — выражения от x. Множество  T значений x  при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения.

Таким образом становится понятно, что основа любого уравнения это равенство двух его частей. И когда при решении уравнений производятся различные операции над его частями это равенство всегда должно соблюдаться.

В математике существует огромное количество самых разнообразных видов  уравнений для решения которых используются разные способы. Но для того чтобы легко решать уравнения вам необходимо знать три основных метода:

Тождественное преобразование уравнений

Разложение выражения на множители

Введение новой переменной

Тождественные преобразования уравнений

Наиболее простым и в то же время одним из самых распространенных способов решения уравнений является метод тождественных преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример.

Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Рассмотрим основные способы тождественных преобразований алгебраических выражений.

Примеры и формулы тождественных преобразований:

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Пример:  9×2 + 12x + 10 = 15x + 10 → отнимем  десять из обоих частей → 9×2 + 12x  = 15x

Второе тождественное преобразование: перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.

Пример: 9×2 + 12x  = 15x → перенесем 15х влево → 9×2 + 12x  — 15x =0. После упрощения получаем: 9×2  – 3x =0

Третье тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя.

Пример: 9×2  – 3x =0 → разделим обе части уравнения на три → 3×2 – x =0

Четвертое тождественное преобразование:  можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;
б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

Пример:     49x2= 1225 → извлечем корень квадратный из обеих частей → | 7x | = 35

Х1=5

Х2=-5

Разложение выражения на множители

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

 Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример : Разложить на множители многочлен х5– 2х3 +х2.
Решение: Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель  х2. Вынесем его за скобку и получим ответ:

х5– 2х3 +х2 = х2 (х3 – 2x + 1).

Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)2=a2-2ab+b2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a2-b2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Пример: (3х+5)2 =9х2+30х+25=0

Решение: используя формулу (1) 9х2+30х+25=(3х+5)2

Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители, применяемых при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.Пример : Разложить на множители многочлен x4 + 4×2 – 1.

Решение : Имеем х4+4х2−1=х4+22х2+4−4−1=(х2+2)2−5=(х2+2−5)(х2+2−5) .

Замена переменной

Для решения уравнения методом введения новой переменной необходимо выполнить  три  следующих операции:

1. В уравнени какая-то его часть заменяется другой переменной (a,y,t,…)

    (прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. Решается новое уравнение;

3. Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.

_

 _

_

Пример: (2x−21)2−5(2x−21)+4=0.

Шаг1

вводим новую переменную y :  2x−21=y

Шаг2

решаем новое уравнение : y2−5y+4=0

У1=1

У2=4

Шаг3

Возвращаемся  к исходному уравнению:

2x−21=1 → х=11

2x−21=4 →12,5

Источник: http://df-dt.com/x-uravnenie-s-odnoj-peremennoj.html

Решение линейных уравнений с одной переменной

Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Определение 1

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Пример 1

Примерами линейных уравнений будут:

3·x=11 (уравнение с одной переменной x при а=5 и b=10);

−3,1·y=0 (линейное уравнение с переменной y, где а=-3,1 и b=0);

x=−4 и −x=5,37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго – b=5,37) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a·x=b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5·x=2·x+6 – также линейное.

А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

 3·x−7=0 (a=3, b= −7);

1,8·y+7,9=0 (a=1,8, b=7,9).

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a·x=b, например, 6·x=35.

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a·x+b=0, где x – переменная; a, b – коэффициенты.

Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени.

А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a·x+b=0, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5·x+8=0 – линейное, а 5·x=−8 –  уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Определение 3

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b. Запишем эти условия:

  • при a≠0 линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
  • при a=0 и b≠0 линейное уравнение не имеет корней;
  • при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

  • перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
  • умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a·x=−b.

Далее мы разделим обе части равенства на число а, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а=0, рассмотрим позже.

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x=-ba. Т.е., когда a≠0, исходное уравнение a·x+b=0 равносильно равенству x=-ba, в котором очевиден корень -ba.

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня -ba как x1. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2.

И конечно: x2≠x1, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x1−x2≠0. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a·x1+b=0 и a·x2+b=0.

Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a·x1+b−(a·x2+b)=0−0, отсюда: a·(x1−x2)+(b−b)=0 и далее a·(x1−x2)=0. Равенство a·(x1−x2)=0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a≠0 и x1−x2≠0. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a=0.

Когда a=0 линейное уравнение a·x+b=0 запишется как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0·x+b=0, получим b=0. Равенство справедливо при  b=0; в прочих случаях, когда b≠0, равенство становится неверным.

Таким образом, когда a=0 и  b=0, любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0=0. Когда же a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b=0.

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

  • по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
  • при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
  • при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
  • при a, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:
  1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a·x=−b;
  2. обе части полученного равенства делим на число a, что даст нам искомый корень заданного уравнения: x=-ba.

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a·x=b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a≠0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a.

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a·x=b, используем такой алгоритм:

  • при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
  • при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
  • при a, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a, что дает возможность найти единственный корень, который равен ba.

Примеры решения линейных уравнений

Пример 3

Необходимо решить линейное уравнение 0·x−0=0.

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a=0 и b=−0 (или b=0, что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Пример 4

Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0·x+2,7=0.

Решение

По записи определяем, что а=0, b=2,7. Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

Пример 5

Задано линейное уравнение 0,3·x−0,027=0. Необходимо решить его.

Решение

По записи уравнения определяем, что а=0,3; b= -0,027, что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0,3·x=0,027. Далее разделим обе части полученного равенства на а=0,3, тогда: x=0,0270,3.

Осуществим деление десятичных дробей:

0,0270,3=27300=3·93·100=9100=0,09

Полученный результат есть корень заданного уравнения.

Кратко решение запишем так:

0,3·x-0,027=0,0,3·x=0,027,x=0,0270,3,x=0,09.

Ответ: x=0,09.

Для наглядности приведем решение уравнения записи a·x=b

Пример N

Заданы уравнения: 1) 0·x=0; 2) 0·x=−9; 3) -38·x=-334. Необходимо решить их.

Решение

Все заданные уравнения отвечают записи a·x=b. Рассмотрим по очереди.

В уравнении 0·x=0, a=0 и b=0, что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

Во втором уравнении 0·x=−9: a=0 и b=−9, таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

По виду последнего уравнения -38·x=-334  запишем коэффициенты: a=-38, b=-334, т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a, получим в результате:  x=-334-38. Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

-334-38=33438=15438=154·83=15·84·3=10

Кратко решение запишем так:

-38·x=-334,x=-334-38,x=10.

Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-linejnyh-uravnenij-s-odnoj-peremennoj/

Уравнения с одной переменной

Уравнение с одной переменной корень уравнения. Уравнение с одной переменной

  • Справочник
  • Алгебра
  • Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения: 

\( x2=10-3x \)

Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.

При «х= -2»:

\( (-2)2=10-3 \cdot (-2) \)

\( 4=4 \) — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения

При «х= -1»

\( (-1)2=10-3 \cdot (-1) \)

\( 1=7 \) — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения

При «х=0»

\( 02=10-3 \cdot 0 \)

\( 0=10 \) — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения

При «x=2»

\( 22=10-3 \cdot 2 \)

\( 4=4 \) — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения

При «х=3»

\( 32=10-3 \cdot 3 \)

\( 9=1 \) — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения

Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения \( x2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

4х + 28 = 3 — х

Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

4х + х = 3 — 28

Теперь вычитаем значение слева и справа:

5х = -25

Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

х = -25:5

х = -5

Ответ х = -5

Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

4(-5+7) = 3-(-5)

4*2 = 8

8 = 8 — уравнение решено верно!

Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

Пример №3 Найти корни уравнения: \( (y+4)-(y-4)=6y \)

В первую очередь, также избавимся от скобок:

\( y+4-y+4=6y \)

Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

\( 8 = 6y \)

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

\( 6y=8 \)

Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

\( y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

Ответ: y = \( 1\frac{1}{3} \)

Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

Пример №4 \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

\( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

\( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

\( -5,2x=7,8 \)

\( x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)

Ответ: x = -1,5

Источник: https://calcsbox.com/post/uravnenia-s-odnoj-peremennoj.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.